LOGICA Y FUNCIONES: 2012

1. Ley de identidad:
p→p
p↔p
2. Ley de la doble negación:
p↔¬¬p
3. Ley del tercio excluso:
p∨¬p
4. Ley de contradicción:
¬(p∧¬p)
5. Leyes de Morgan:
¬(p∧q)↔(¬p∨¬q)
¬(p∨q)↔(¬p∧¬q)
6. Leyes de reducción al absurdo:
(¬p→(q∧¬q))↔p
7. Leyes de conmutación:
(p∨q)↔(q∨p)
(p∧q)↔(q∧p)
(p↔q)↔(q↔p)
8. Leyes de asociación:
((p∨q)∨r)↔(p∨(q∨r))
((p∧q)∧r)↔(p∧(q∧r))
((p↔q)↔r)↔(p↔(q↔r))
9. Leyes de transposición:
(p→q)↔(¬q→¬p)
(p↔q)↔(¬q↔¬p)
10. Leyes distributivas:
(p∧(q∨r))↔((p∧q)∨(p∧r))
(p∨(q∧r))↔((p∨q)∧(p∨r))
(p→(q∧r))↔((p→q)∧(p→r))
(p→(q∨r))↔((p→q)∨(p→r))
11. Leyes de permutación:
(p→(q→r))↔(q→(p→r))
12. Leyes del silogismo:
(p→q)→((q→r)→(p→r))
13. Silogismo hipotético o transitividad
((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
14. Leyes de inferencia de la alternativa o de los silogismos disyuntivos:
[¬p∧(p∨q)]→q
[p∧(¬p∨¬q)]→¬q
15. Ley del dilema constructivo:
[(p∨q)∧(p→r)∧(q→r)]→r
16. Segunda ley del dilema constructivo:
[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)
17. Ley del dilema destructivo:
[(¬p∨¬q)∧(r→p)∧(s→p)]→(¬r∨¬s)
18. Ley de exportación:
[(p∧q)→r]↔[(p→(q∨r)]
19. Ley de resolución:
[(¬p∨q)∧(p∨r)]→(q∨r)
20. Ley del bicondicional:
(p↔q)↔[(p→q)∧(q→p)]
21. Condicional-disyuncion:
(p→q)↔(¬p∨q)
22. Condicional-conjunción:
(p→q)↔¬(p∧¬q)
23. Leyes de simplificación:
(p∧q)→p
p→(p∨q)
24. Leyes de expansión:
(p→q)↔[p↔(p∧q)]
(p→q)↔[q↔(p∨q)]
25. Modus ponendo ponens:
[(p→q)∧p]→q
26. Modus tollendo tollens:
[(p→q)∧¬q]→¬p

Leyes lógicas

Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógica proposicional. Por ejemplo:

$p$	$\lor$	$\bar p$
1	1	0
0	1	1

Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de tercero excluido o tertio excluso.

Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La $T$ significa tautología y la $C$ contradicción):

Idempotencia

$( p \lor p ) \leftrightarrow p$

Asociativa

$[ ( p \lor q ) \lor r ] \leftrightarrow p \lor q \lor r$

$[ ( p \land q ) \land r ] \leftrightarrow p \land q \land r$

Conmutativa

$( p \lor q ) \leftrightarrow (q \lor p)$

$( p \land q ) \leftrightarrow (q \land p)$

Identidad

$( p \lor T ) \leftrightarrow T$

$( p \land T ) \leftrightarrow p$

$( p \lor C ) \leftrightarrow p$

$( p \land C) \leftrightarrow C$

Absorción

$p \lor ( q \land p ) \leftrightarrow p \,$

$p \land ( q \lor p ) \leftrightarrow p \,$

Distributiva

$p \lor ( q \land r ) \leftrightarrow ( p\lor q) \land ( p\lor r)$

$p \land ( q \lor r ) \leftrightarrow ( p\land q) \lor ( p\land r)$

De Morgan

$( \overline{ p \land q } ) \leftrightarrow (\bar p \lor \bar q)$

$( \overline{ p \lor q } ) \leftrightarrow (\bar p \land \bar q)$

Doble negación

$\bar{\bar p} \leftrightarrow p$

$\bar C\leftrightarrow T$

$\bar T\leftrightarrow C$

Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtores primitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados.

La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir a ellos:

Regla de sustitución

1. $( p \leftrightarrow q ) \leftrightarrow [ ( p \to q ) \land ( q \to p ) ]$

2. $( p \to q ) \leftrightarrow ( \bar p \lor q )$

$( p \to q ) \leftrightarrow ( \overline{p \land \bar q } )$

Ejercicios

Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones:

En primer lugar hallamos los valores del primer paréntesis, después los valores del otro paréntesis; finalmente hallamos los valores del condicional relacionando los resultados de ambos paréntesis. La expresión es una tautología.