FUNCION: IMAGEN Y PREIMAGEN

 A modo de recapitulación, podemos definir función de la siguiente manera:

 Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A existe un solo elemento, y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.

 Para simbolizar que se ha establecido una función f, de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación:             f : A → B

 Criterio de la función En un sentido abstracto, calcular una función consiste en examinar la correspondencia general de “y” con respecto a “x”, expresado en la fórmula abstracta:

 y = f(x)
 Esta fórmula establece que la magnitud “y” está, de modo general, en función de “x”. Ojo, que la magnitud “y” corresponde a lo que luego llamaremos “imagen”, y que depende del valor que se le asigne a “x” (que será la “preimagen”) en f(x).

 La notación y = f (x) se lee “y” es una función de “x” o “y” es igual a f de x (esta notación no significa f por (x)).
Obviamente en lugar de “x” e “y” hubiésemos podido emplear “variable”, y escribirlo así: Variable dependiente = f (variable independiente)

 Ejemplo 1 

 Si A = {1, 2, 3} y
     B = {2, 4, 6} y su correspondencia es el doble.
 Entonces
 f(x) = 2x
 En efecto f(1) = 2 • 1 = 2
                f(2) = 2 • 2 = 4
                f(3) = 2 • 3 = 6
 Tenemos Dominio = {1, 2, 3}
 Codominio = {2, 4, 6}
 Ámbito (rango o recorrido) = {2, 4, 6}

 Ejemplo 2

 Si     A = {1, 3, 5} y
           B = {3, 5, 7, 9, 11} y su correspondencia es el doble más uno.

 Entonces

 f(x) = 2x + 1
 En efecto:
 f(1) = 2 • 1 + 1 = 3
 f(3) = 2 • 3 + 1 = 7
 f(5) = 2 • 5 + 1 = 11

 Tenemos
 Dominio = {1, 3, 5}
 Codominio = {3, 5, 7, 9, 11}
 Ámbito (rango o recorrido) = {3, 7, 11}

 Conceptos básicos de la función

Dada una función f : A → B (es lo mismo que f : X → Y)
 se define:
 * El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, se puede representar como f D.
 * Al conjunto B se llama conjunto de llegada o codominio.
 * Se llaman preimágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio.
 * Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una preimagen, mediante el criterio de la función.
 * Se llama rango (recorrido o ámbito) de una función al conjunto formado por las imágenes. Este conjunto es un subconjunto del codominio, se puede representar como f R ó f A, respectivamente.

 Ejemplo 3 

  Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2.000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará si hace 4, 6 u 8 sillas por día?

 Para este ejemplo,
 x representa cada silla y f(x) el costo de fabricarla, lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 350 por cada silla y sumarle el gasto fijo.

 Es decir:
 f(x) = 350x + 2.000

 Por lo que el valor de la variable independiente x para la primera pregunta es 2.

Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dicha variable en el criterio de la función.

 f(2) = 350 • 2 + 2.000 f(2)
       = 700 + 2.000 f(2) = 2.700

 Entonces si hace solamente 2 sillas en un día, gastaría $2.700 en hacerlas. De esto podemos decir que 2 es la preimagen de 2.700