lunes, 23 de julio de 2012

LOGICA PROPOSICIONAL

LEYES DE LA LOGICA DE PROPOSICIONES

1. Ley de identidad:
p→p
p↔p
2. Ley de la doble negación:
p↔¬¬p
3. Ley del tercio excluso:
p∨¬p
4. Ley de contradicción:
¬(p∧¬p)
5. Leyes de Morgan:
¬(p∧q)↔(¬p∨¬q)
¬(p∨q)↔(¬p∧¬q)
6. Leyes de reducción al absurdo:
(¬p→(q∧¬q))↔p
7. Leyes de conmutación:
(p∨q)↔(q∨p)
(p∧q)↔(q∧p)
(p↔q)↔(q↔p)
8. Leyes de asociación:
((p∨q)∨r)↔(p∨(q∨r))
((p∧q)∧r)↔(p∧(q∧r))
((p↔q)↔r)↔(p↔(q↔r))
9. Leyes de transposición:
(p→q)↔(¬q→¬p)
(p↔q)↔(¬q↔¬p)
10. Leyes distributivas:
(p∧(q∨r))↔((p∧q)∨(p∧r))
(p∨(q∧r))↔((p∨q)∧(p∨r))
(p→(q∧r))↔((p→q)∧(p→r))
(p→(q∨r))↔((p→q)∨(p→r))
11. Leyes de permutación:
(p→(q→r))↔(q→(p→r))
12. Leyes del silogismo:
(p→q)→((q→r)→(p→r))
13. Silogismo hipotético o transitividad
((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
14. Leyes de inferencia de la alternativa o de los silogismos disyuntivos:
[¬p∧(p∨q)]→q
[p∧(¬p∨¬q)]→¬q
15. Ley del dilema constructivo:
[(p∨q)∧(p→r)∧(q→r)]→r
16. Segunda ley del dilema constructivo:
[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)
17. Ley del dilema destructivo:
[(¬p∨¬q)∧(r→p)∧(s→p)]→(¬r∨¬s)
18. Ley de exportación:
[(p∧q)→r]↔[(p→(q∨r)]
19. Ley de resolución:
[(¬p∨q)∧(p∨r)]→(q∨r)
20. Ley del bicondicional:
(p↔q)↔[(p→q)∧(q→p)]
21. Condicional-disyuncion:
(p→q)↔(¬p∨q)
22. Condicional-conjunción:
(p→q)↔¬(p∧¬q)
23. Leyes de simplificación:
(p∧q)→p
p→(p∨q)
24. Leyes de expansión:
(p→q)↔[p↔(p∧q)]
(p→q)↔[q↔(p∨q)]
25. Modus ponendo ponens:
[(p→q)∧p]→q
26. Modus tollendo tollens:
[(p→q)∧¬q]→¬p

LEYES LOGICAS


Leyes lógicas

Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógica proposicional. Por ejemplo:
p\lor\bar p
110
011
Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de tercero excluido o tertio excluso.
Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La T significa tautología y la C contradicción):

Idempotencia

( p  \lor   p )  \leftrightarrow  p

Asociativa

[ (  p  \lor  q  )  \lor   r  ]  \leftrightarrow p  \lor   q  \lor   r
[ (  p  \land  q  )  \land   r  ]  \leftrightarrow p  \land   q  \land   r

Conmutativa

(  p  \lor  q  )  \leftrightarrow  (q  \lor   p)
(  p  \land  q  )  \leftrightarrow  (q  \land   p)

Identidad

(  p  \lor  T )  \leftrightarrow  T
(  p  \land  T )  \leftrightarrow  p
(  p  \lor  C )  \leftrightarrow  p
(  p  \land  C)  \leftrightarrow  C

Absorción

p \lor ( q \land p ) \leftrightarrow p \,
p \land ( q \lor p ) \leftrightarrow p \,

Distributiva

p \lor ( q \land r ) \leftrightarrow  ( p\lor q) \land ( p\lor r)
p \land ( q \lor r ) \leftrightarrow    ( p\land q)  \lor ( p\land r)

De Morgan

 ( \overline{ p  \land  q } )  \leftrightarrow  (\bar p  \lor   \bar q)
 ( \overline{ p  \lor  q } )  \leftrightarrow  (\bar p  \land   \bar q)

Doble negación

\bar{\bar p} \leftrightarrow p
\bar C\leftrightarrow T
\bar T\leftrightarrow C

Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtores primitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados.
La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir a ellos:

Regla de sustitución

1. ( p \leftrightarrow  q  )  \leftrightarrow  [ ( p  \to   q  ) \land   (  q  \to   p  ) ]
2. ( p \to q  )  \leftrightarrow   ( \bar p  \lor   q  )
    ( p \to q  )  \leftrightarrow   ( \overline{p  \land  \bar q } )

Ejercicios

Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones:
En primer lugar hallamos los valores del primer paréntesis, después los valores del otro paréntesis; finalmente hallamos los valores del condicional relacionando los resultados de ambos paréntesis. La expresión es una tautología.

Ejercicio 1

(p\land\bar q)\to(q \top)
1001111
1111011
0001100
0011010
Es una tautología.

Ejercicio 2

(p\landq)\lor(p \land\bar q)
1111100
1001111
0010000
0000001

Ejercicio 3

(p\leftrightarrow q)\lor(p \to\bar q)
1111100
1001111
0011010
0101010
Es una tautología.

Ejercicio 4

(p\landq)\lor(\bar p \land\bar q)
1111000
1000001
0010100
0001111